Programaciòn Dinámica, Torres de Hanoi y Fractales

Las Torres de Hanoi constituyen un pasatiempo clàsico que ahora està accesible a todos aquellos que tienen celulares y tables con pantallas táctiles y que ahora lo pueden jugar con una rapidez inimaginable en las versiones de madera.

Para aquellos que no conocen las reglas, recomendamos consultar: Torres de Hanoi

Matemáticamente hablando, las Torres de Hanoi pueden constituir dos problemas secuenciales de optimizaciòn.

El primero consiste en alcanzar la meta en el mínimo número de movimientos. Y el segundo, lograrlo, sin repetir nunca ninguna configuración, en el máximo número de movimientos.

Ambos problemas nos transladan al campo  de la Programación Dinámica. Una muy interesante referencia la constituye el artìculo: Towers of Hanoi, de Sniedovich, que explica de manera muy clara la relación entre el problema y la Programación Dinámica a través de la Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman.

Finalmente, si se plantea el problema de manera gráfica, se manifiesta una muy interesante relación entre la gráfica del problema y un famoso fractal, el Triángulo de Sierpinski: wikipedia

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Ál-gebra y Al-icia

Se ha mencionado que posiblemente Lewis Carroll imaginó partes de Alicia drogado (y se hace alusión a la oruga), también se ha mencionado que era pederasta (y se hace alusión a sus fotos). No es claro que quienes realizan estas afirmaciones realmente están interesados en llegar a la verdad o si  más bien lo que les interesa el "choc" y escándalo que puede causar el "desenmascaramiento" de alguien cuya obra ha tenido un impacto inmenso. Quizás nunca sepamos la verdad sobre la segunda acusación, y en lo que a mí  respecta, su argumentación se interrumpe bruscamente en su inicio (las fotos mismas, fácilmente localizables en Internet), por lo que es mejor ignorarla. La segunda es un buen pretexto para comentar sobre una teoría reciente:
The Mad Hatter's Secret Ingredient: Math                        http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=124632317&ps=cprs

En este artículo se menciona la interesante (y a mi gusto, descabellada) teoría de que en el episodio de la loca hora del té, Lewis Carroll hacía referencia a un tema matemático rodeado de misterio, los Cuaterniones.
Parte de la argumentación se refiere al conservadurismo de Carroll en cuestiones matemáticas, y al hecho de que hay cuatro personajes importantes en la hora del té: el tiempo (mencionado pero ausente), el sombrerero, la liebre y el lirón. Los cuaterniones los generan cuatro unidades: 1, i, j, k.
http://www.nytimes.com/2010/03/07/opinion/07bayley.html?_r=1 Dejamos al lector que juzgue si esta teoría le parece verosímil, y plausible o no. Lo que me gustaría enfatizar es que no se podría
llevar a cabo un análisis de este tipo si no hubiera una gran coherencia interna en cada uno de los aparentes absurdos del libro. Como diría Shakespeare, hay método en esta locura, una arquitectura interna que difícilmente se podría erigir bajo los efectos de las drogas. En ese sentido, es sugerente el que muchos (Knuth, Smullyan, Hofstadter, ...) citen o se inspiren en Carroll para ilustrar temas imporantes en teoría de algoritmos, lógica, semántica. Tan sólo por citar, en el capítulo Insectos del Espejo (en A través del Espejo), el Gnat y Alicia tienen una conversación que parte de juegos de palabras y finalmente toca el interesante problema de los nombres, que finalmente, ya lo comentaremos después, es central desde la misma Teología, la Lingüística, hasta llegar, sí, a las ciencias de la computación.

Por otro lado, no olvidemos que Carroll hacía un uso muy abundante de personajes y expresiones trandicionales (como "loco como un sombrerero, loco como una liebre de marzo") o pequeños poemas infantiles (como el poema donde la Sota de Corazones le roba los pasteles a la Reina o el verso sobre Humpty Dumpty). También el León y el Unicornio, presentes en el Escudo de Armas inglés, el Caballero Blanco (quizás inspirado en sí mismo y al mismo tiempo en Don Quijote), ..., son tan recurrentes y sólidas las diversas relaciones entre temas y meta-temas en el libro, que alguien con paciencia y conocimientos de psicología de estados de consciencia alterados por las drogas fácilmente podría determinar si es posible, bajo esas condiciones, crear algo con tal riqueza estructural y coherencia interna. Pero no me crean, esto es un muy buen pretexto para releer los libros.


Concluyendo, si  Carrol no tenía ningún inconveniente para tomar prestados personajes de otras fuentes, se haya  inspirado o no en los cuaterniones para su loca hora del té, ¿por qué no revertir el proceso y usar al (ausente) tiempo, al sombrerero, la liebre y al lirón para hacer una fantasía sobre Cuaterniones? ¿Alguien se anima?

Azar y Música

Hay mucho de qué hablar de azar y arte, desde el Juego de Dados Musical de Mozart hasta Marcel Duchamp.
Pero, antes de sumergirnos en el tema, podemos iniciar con algo más coloquial:
¿cómo "mezcla" un reproductor musical? Es decir, aparatos como el ipod de Apple, ¿de qué manera permutan "aleatoriamente" las canciones? ¿Y por qué existe esa opción? ¿Por qué nos gusta que las canciones se reproduzcan "al azar"?

Los invito a leer y escuchar un poco sobre el tema en:

http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=89408926

Ojalá puedan escribr sus comentarios.

Ajedrez, azar, arte, ...

Quizás sea difícil de relacionar, en una primera aproximación, la geometría, el ajedrez y el azar.

El bello problema del caballo vagabundo de Euler (y sus más bellas soluciones) no dejan duda de la relación del ajedrez con la geometría, indiscutible ya de entrada en el ámbito cuadrado bicromático del juego, al que Borges (y otros) comparaba con el contraste entre el día y la noche. El azar, por el contrario, pareciera ser totalmente ajeno a la naturaleza misma del ajedrez, aunque Duchamp y Fischer desmienten este mito cada uno a su manera. Y de hecho, el azar tiene sus propias y bifurcadas geometrías. Del azar, ajedrez, juegos y geometría hablaremos bastante en el futuro. Mientras, los invitamos a leer:

The chess pieces are the block alphabet which shapes thoughts; and these thoughts, although making a visual design on the chess-board, express their beauty abstractly, like a poem... I have come to the personal conclusion that while all artists are not chess players, all chess players are artists.

Marcel Duchamp

http://news.wustl.edu/news/Pages/14798.aspx

http://en.wikipedia.org/wiki/Marcel_Duchamp

Por cierto, no dejen de leer la irónica anécdota de la vida de Duchamp que mi queridísimo Carlos comparte con nosotros en los comentarios.

Ars Geometrica

Desde tiempos previos a Tales y Pitágoras, hasta la actualidad, la geometría no sólo se ha desarrollado, nos rodea, y para bien o para mal, dirige, condiciona y abre caminos:
en las pantallas, ya se de cine, videojuegos; en la arquitectura, la ingeniería; en el diseño gráfico, la pintura, la escultura, ... , somos seres visuales. Surge la pregunta: ¿por qué entonces la enseñanza y la práctica de la geometría ha decaído tanto? ¿Es el pensamiento geométrico un arte en proceso de extinción? Quizás así sea, sin embargo, no será sin lucha. Inauguramos Ars Geometrica, un homenaje a Tales, Pitágoras, Euclides, Apolonio, Arquímedes, Pascal, Descartes, Desargues, Riemann, Lobachevsky, Bolyai, Perelman, los Yaglom, Shariguin, Ignatiev, tantos y tantos que descubrieron, reescribieron o mantuvieron viva la tradición del pensamiento geométrico.

Iniciaremos, en una caminata aleatorio-geométrica:

En un cubo de lado uno, ¿cuál es el cuadrado más grande que cabe en su interior?

De regreso: cubos

Un problema: dado un cubo (sólido), ¿de qué manera se puede intersectar con un plano para que
la sección obtenida tenga área máxima? ¿Qué forma tiene dicha sección?

Plano proyectivo

Si tomamos todas las rectas de un cilindro y a cada una de ella la concebimos como un "punto", es decir, si "vemos el cilindro" de "lado", obtenemos un círculo.

¿Qué pasa si hacemos lo mismo con todas las rectas en el espacio que pasan por un único y mismo punto? ¿Qué nos queda?